Pembuktian Dadlil Pytagoras

Pythagoras (582 SM – 496 SM) lahir di pulau Samos, di daerah Ionia, Yunani Selatan. Salah satu peninggalan Phytagoras yang paling terkenal hingga saat ini adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat sisi miring suatu segitiga siku- siku sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisinya. Yang unik, ternyata rumus ini 1.000 tahun sebelum masa Phytagoras, orang-orang Yunani sudah mengenal penghitungan “ajaib” ini. Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dianggap sebagai temuan Pythagoras, karena ia yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis. Pythagoras menggunakan metode aljabar untuk menyatakan teorema ini.

Temuan lain yang ditemukan oleh Phytagoras adalah rasio/perbandingan emas (golden ratio). Pada masa lalu, matematika memang tidak hanya berkaitan dengan bilangan. Matematika digunakan untuk menjabarkan filsafat dan memahami keindahan. Termasuk golden ratio ini. Berdasarkan penemuan Phytagoras, ternyata banyak hal di alam semesta ini mengarah pada golden ratio. Cangkang siput, galur-galur pada nanas, dan ukuran tubuh bagian atas manusia dibandingkan bagian bawahnya hampir pasti mendekati golden ratio 1 : 1,618. Phytagoras juga membuktikan, semua benda yang memenuhi golden ratio senantiasa memiliki tingkat estetika yang sangat tinggi. Kalau alam semesta berlimpahan dengan benda-benda dengan “ukuran golden ratio”, maka manusia mesti membuat yang serupa demi menjaga keindahan tersebut. Bahkan, Phytagoras berprinsip bahwa “Segala sesuatu adalah angka; dan perbandingan emas adalah raja semua angka.”

Bentuk penyekesaian pytagoras

 

Bangung datar ABCD adalah bangun persegi dengan panjang sisi 7 satuan panjang. Persegi ABCD tersusun dari 4 segitiga siku-siku dengan ukuran sama (EAF, FBG, GCH, dan HDE) dan 1 persegi persegi (EFGH).

Untuk menunjukkan bahwa EFGH adalah persegi, perhatikan penjelasan berikut.

Perhatikan segitiga FBG.

Segitiga FBG adalah segitiga siku-siku, dengan sudut siku-siku di B. Oleh karena itu, m∠BGF + m∠GFB = 90º .... (*)

Perhatikan segitiga GCH.

Segitiga GCH adalah segitiga siku-siku, dengan ukuran yang sama dengan segitiga FBG.

FB = GC

BG = CH

GF = HG

Oleh karena segitiga FBG dan GCH adalah dua segitiga yang ukurannya sama, maka setiap sudut-sudut yang bersesuaian besarnya juga sama.

m∠GFB = m∠HGC .... (**)

m∠FBG = m∠GCH

m∠BGF = m∠CHG

Dari (*) dan (**) didapatkan bahwa

m∠BGF + m∠HGC = 90º

Perhatikan ∠BGF, ∠HGC, dan ∠FGH.

Ketiga sudut tersebut saling berpelurus, sehingga

m∠BGF + m∠HGC + m∠FGH = 180º

Karena m∠BGF + m∠HGC = 90º

Akibatnya m∠FGH = 90º. Dengan kata lain ∠FGH adalah sudut siku-siku.

Dengan cara yang sama, kita bisa membuktikan bahwa keempat sudut pada segiempat EFGH adalah siku-siku

LAEF + LFBG + LGCH + LHDE + LEFGH = LABCD

Karena LAEF = LFBG = LGCH = LHDE 

Akibatnya

4 × LFBG + LEFGH = LABCD

4 × ( 12 × 4 × 3) + LEFGH = 7 × 7

24 + LEFGH = 49

LEFGH = 49 − 24

LEFGH = 25

Karena luas persegi EFGH = 25 satuan luas, akibatnya panjang sisi EF = GH = HE = EF = 5 satuan panjang. .

Dengan cara yang sama dengan kegiatan di atas, kita dapat menentukan hubungan dari sisi-sisi segitiga siku-siku yang panjang sisinya a, b, dan c.

4 × Luas segitiga siku-siku + Luas persegi kecil = Luas persegi besar

4 × ( 12 × a × b) + c2 = (a + b)2

2ab + c2 = a2 + 2ab + b2 (kedua ruas dikurangi 2ab)

c2 = a2 + b2

Dari analisis di atas, nyatakan hubungan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku yang panjang sisinya a, b dan c, dengan kalimat kalian sendiri. Hubungan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku tersebut dinamakan Teorema Pythagoras.